Le calcul d’intégrales intervient régulièrement en mathématiques, notamment pour le calcul de probabilités, fondamental pour la data science. Généralement, il est nécessaire de connaître une primitive d’une fonction afin de calculer son intégrale. Dans cet article, vous découvrirez la définition des primitives et comment les déterminer.
Qu’est-ce que la primitive d’une fonction ?
Soit [latex]left[a, bright][/latex] un intervalle, et [latex]f : left[a,bright] to mathbb{R}[/latex] une fonction définie sur l’intervalle [latex]left[a,bright][/latex]. On dit que [latex]f[/latex] admet une primitive sur [latex]left[a,bright][/latex] s’il existe une fonction dérivable [latex]F : left[a,bright]to mathbb{R}[/latex] telle que pour tout [latex]x in left]a,bright[[/latex], [latex]F^{prime}(x) = f(x)[/latex]. On dit alors que [latex]F[/latex] est une primitive de [latex]f[/latex]. Par exemple, pour [latex]f(x) = 3 x^2 + 5[/latex], une primitive de [latex]f[/latex] sur [latex]mathbb{R}[/latex] est [latex]F(x) = x^3 + 5 x[/latex]. Il suffit de dériver [latex]F[/latex] pour le vérifier. On dit alors que [latex]F[/latex] est une primitive de [latex]f[/latex]. Dans le tableau suivant, on énonce les primitives de quelques fonctions usuelles. On dit alors que [latex]F[/latex] est une primitive de [latex]f[/latex].
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Condition suffisante d’existence d’une primitive
Soit [latex]left[a, bright][/latex] un intervalle, et [latex]f : left[a,bright] to mathbb{R}[/latex] une fonction définie sur l’intervalle [latex]left[a,bright][/latex]. On dit alors que [latex]F[/latex] est une primitive de [latex]f[/latex]. Si [latex]f[/latex] est une fonction continue sur l’intervalle [latex]left[a,bright][/latex], alors [latex]f[/latex] admet une primitive [latex]F[/latex] définie pour tout [latex]x in left[a,bright][/latex] par [latex]F(x) = int_{a}^{x}f(t)dt[/latex]. Dans ce cas, [latex]F[/latex] est l’unique primitive de [latex]f[/latex] qui s’annule en [latex]a[/latex]. Ce résultat est connu sous le nom de théorème fondamental de l’analyse. Ainsi, il suffit qu’une fonction soit continue sur un intervalle pour qu’elle admette une primitive sur celui-ci.Relation intégrale et primitive
Connaître une primitive d’une fonction [latex]f[/latex] permet de calculer son intégrale sur des segments. En effet, si [latex]f[/latex] est une fonction continue définie sur [latex]left[a,bright][/latex] et si [latex]F[/latex] une primitive de [latex]f[/latex], alors on a[latex]int_{a}^{b} f(x)dx = {left[F(x)right]}_a^b = F(b) – F(a)[/latex]
Propriétés sur les primitives
Il est possible d’énoncer un certain nombre de relations qui découlent des formules de dérivation. On considère ici deux fonctions dérivables [latex]f[/latex] et [latex]g[/latex] définies sur un intervalle [latex]I[/latex]. Le tableau ci-dessous résume les primitives des principales opérations sur les fonctions.
