Die Brownsche Bewegung: Prinzip und praktische Anwendungen

Nehmen wir ein mikrometergroßes Teilchen, das in einer Flüssigkeit schwimmt. Dieses Teilchen bewegt sich zufällig, weil andere kleine Teilchen auf dieses „große“ Teilchen stoßen. Dies ist das Prinzip der Brownschen Bewegung, auch Wiener-Prozess genannt.

Historisch gesehen entdeckte der Botaniker Robert Brown die Brownsche Bewegung im Jahr 1827. Er beobachtete die chaotische Bewegung von Pollenkörnern in Wasser. Ab 1857 begann Robert Browns Arbeit auf großes Interesse zu stoßen und mehrere Wissenschaftler definierten die Eigenschaften der Brownschen Bewegung. Erst Albert Einstein beschrieb 1905 die Brownsche Bewegung quantitativ. Er verknüpft insbesondere den quadratischen Mittelwert der zurückgelegten Strecke mit der Dauer der Beobachtung. Seine Berechnungen werden von Jean Perrin experimentell bestätigt. Seine Experimente führten auch zur Bestimmung der Avogadro-Konstante. Die Brownsche Bewegung findet in verschiedenen Bereichen Anwendung. Im Bereich der Physik wird sie vor allem dazu verwendet, die Bewegung kleiner Partikel, wie z. B. Aerosole in der Luft, zu bestimmen. Dabei wird eine Zufallskraft berücksichtigt (z. B. in den Langevin-Gleichungen). Die Brownsche Bewegung hat auch mathematische Anwendungen in Form von stochastischen Prozessen: Wahrscheinlichkeitsmodelle, mit denen ein zufälliges Phänomen im Laufe der Zeit untersucht werden kann. Dies wird häufig in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet, und es gibt mehrere Anwendungen im Finanzbereich.

Die Anwendung der Brownschen Bewegung bei der Mikromanipulation von DNA-Molekülen

1. Das Prinzip

Als Beispiel wollen wir uns mit einer der physikalischen Anwendungen der Brownschen Bewegung beschäftigen, nämlich der Mikromanipulation von DNA-Molekülen. DNA-Moleküle können mit verschiedenen Werkzeugen mikromanipuliert werden, z. B. mit einer optischen Pinzette oder einer magnetischen Pinzette.

Das Prinzip der Mikromanipulation ist wie folgt:

• Ein Ende des DNA-Moleküls wird an einer Glaskapillare befestigt.
• Am anderen Ende wird eine magnetische Kugel befestigt. Diese Kugel wird in das Feld eines Magneten gebracht.
• Durch die Bewegung des Magneten wird das DNA-Molekül gezogen oder um sich selbst gedreht, um Verdrillungen zu erzeugen.

2. Der Nutzen der Brownschen Bewegung

Nachdem wir diesen Zusammenhang hergestellt haben, können wir uns fragen: Wo kommt die Brownsche Bewegung ins Spiel? Die Kraft, die nötig ist, um das DNA-Molekül zu strecken, liefert ziemlich wichtige Informationen über unser Makromolekül. Diese Kraft ist sehr klein (im Pikonewton-Bereich, d. h. 10-12 Newton). Da sie so klein ist, kann sie nicht leicht mit herkömmlichen Messgeräten gemessen werden, da diese durch die thermische Bewegung eingeschränkt sind. Die Brownsche Bewegung ermöglicht es jedoch, die Kraft zu messen. Die thermische Bewegung erzeugt eine zufällige Kraft, die die Kugel von ihrer Gleichgewichtsposition wegbewegt. Berechnungen zeigen, dass die Streckkraft des DNA-Moleküls in direktem Zusammenhang mit den mittleren quadratischen Fluktuationen steht. Nun müssen wir noch die mittleren quadratischen Fluktuationen bestimmen. Um dies zu tun, sollten wir uns von Jean Perrins Experiment inspirieren lassen. Ein erster Schritt besteht darin, die Bewegungen des kugelförmigen Teilchens, das am Ende des DNA-Moleküls platziert wird, mit einer an ein Mikroskop angeschlossenen Kamera aufzuzeichnen. In einem zweiten Schritt werden mithilfe von Videoerkennungssoftware die Koordinaten des Kügelchens zu jedem Zeitpunkt ermittelt. Anhand der Koordinaten können dann die Brownschen Fluktuationen berechnet werden.

3. Die Verwendung von Python, um auf die Koordinaten der Kugel zuzugreifen

Ausgehend vom Video kann man mithilfe von Python auf viel komplexere Weise auf die Koordinaten der Murmel zugreifen. Sobald das Video nämlich in eine Folge von Bildern umgewandelt wurde. Wir verwenden die imageio-Bibliothek von Python. Sie ermöglicht es, mit Bildern zu arbeiten, indem sie sie als dreidimensionale Arrays darstellt. In den ersten beiden Dimensionen können wir die Position eines Pixels bestimmen und die dritte Dimension gibt uns Auskunft über die Farbintensität (woraus wir die Farbe des Pixels ableiten). Sobald die Bilder in Graustufen umgewandelt wurden, können wir uns auf eine zweidimensionale Tabelle zurückziehen, da die Werte in der dritten Dimension alle gleich sind (da das Bild in Graustufen vorliegt). Du musst dann nur Funktionen erstellen, die mithilfe einer baryzentrischen Methode die Koordinaten des Pixels mit der höchsten Intensität bestimmen. Wenn wir diesen Vorgang über die Folge von Bildern wiederholen, erhalten wir am Ende unsere Koordinaten der Murmel zu jedem Zeitpunkt. Der Zugriff auf die Koordinaten ermöglicht den Zugriff auf die Brownschen Fluktuationen und dann auf die Streckkraft des DNA-Moleküls. Somit ist die Brownsche Bewegung sehr nützlich bei der Mikromanipulation des DNA-Moleküls. Die Arbeit an der Videoanalyse ist ebenfalls ein sehr wichtiges Element. Wie wir gesehen haben, kann dieser Prozess mithilfe von Python durchgeführt werden. Die von Liora angebotenen Kurse ermöglichen es dir, Python zu beherrschen, ein unverzichtbares Werkzeug in der Datenwissenschaft. Wir bieten auch ein Modul über Bildverarbeitung an: Einführung in Computer Vision mit OpenCV.

Über den Autor…

Der Student an einer Ingenieurschule sowie an der Universität Paris-Saclay spezialisiert sich auf angewandte Mathematik im Bereich Data Science sowie künstliche Intelligenz. Avraham Rosenberg