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\n<\/a><\/p>\n
Ein Kartenstapel<\/h4>\n
Ein klassischer Kartenstapel besteht aus 52 Karten mit :<\/p>\n
- \n
- 4 Farben (Pik, Karo, Kreuz, Herz)<\/li>\n
- 13 Karten pro Farbe (von 2 bis 10, Bube, Dame, K\u00f6nig, Ass)<\/li>\n<\/ul>\n
On s’int\u00e9resse au r\u00e9sultat lorsqu’on tire une seule carte<\/b> du paquet.<\/p>\n
On d\u00e9finit les \u00e9v\u00e8nements :<\/p>\n
- \n
- [latex]C[\/latex] : „La carte est un c\u0153ur“<\/li>\n
- [latex]T[\/latex] : „La carte est une t\u00eate (valet, dame ou roi)“<\/li>\n
- [latex]A[\/latex] : „La carte est un as“<\/li>\n<\/ul>\n
Also:<\/p>\n
- \n
- [latex]mathbb{P}(C) = frac{13}{52} = frac{1}{4}[\/latex]<\/li>\n
- [latex]mathbb{P}(T) = frac{12}{52} = frac{3}{13}[\/latex]<\/li>\n
- [latex]mathbb{P}(A) = frac{4}{52} = frac{1}{13}[\/latex]<\/li>\n<\/ul>\n
Wir erhalten auch:<\/p>\n
- \n
- [latex]mathbb{P}(T cap C) = frac{3}{52}[\/latex]<\/li>\n
- [latex]mathbb{P}(T cap A) = 0[\/latex]<\/li>\n
- [latex]mathbb{P}(A cap C) = frac{1}{52}[\/latex]<\/li>\n<\/ul>\n
Die Erg\u00e4nzung zu diesen Ereignissen ist :<\/p>\n
[latex]C^C[\/latex]: „Die Karte ist kein Herz“.
\n[latex]T^C[\/latex]: „Die Karte ist kein Kopf“.
\n[latex]A^C[\/latex]: „Die Karte ist kein Ass“.<\/p>\nIn diesem Fall haben wir:<\/p>\n
- \n
- [latex]mathbb{P}(C^C) = 1 – mathbb{P}(C) = 1 – frac{1}{4} = frac{3}{4}[\/latex]<\/li>\n
- [latex]mathbb{P}(T^C) = 1 – mathbb{P}(T) = 1 – frac{3}{13} = frac{10}{13}[\/latex]<\/li>\n
- [latex]mathbb{P}(A^C) = 1 – mathbb{P}(A) = 1 – frac{1}{13} = frac{12}{13}[\/latex]<\/li>\n<\/ul>\n
Wenn wir eine Karte ziehen und wissen, dass es ein Herz ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Karte ein Kopf ist, [latex]frac{3}{13}[\/latex].<\/p>\n
Man spricht dann von bedingter Wahrscheinlichkeit: Es handelt sich um die Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung einer bestimmten Information.<\/p>\n
Man schreibt: [latex] mathbb{P}(T | C) = frac{mathbb{P}(T |cap C)}{mathbb{P}(C)}\/[\/latex].<\/p>\n
Wir wissen, dass die Karte ein Herz ist. Es gibt insgesamt 13 Herzkarten, drei davon sind K\u00f6pfe, also haben wir eine Wahrscheinlichkeit von [latex]frac{3}{13}[\/latex], dass wir einen Kopf gezogen haben, obwohl wir wissen, dass es ein Herz ist.<\/p>\n
Berechnung :<\/p>\n
[latex]begin{aligned} mathbb{P}(T | C) & = frac{mathbb{P}(T cap C)}{mathbb{P}(C)} \\ & = frac{frac{3}{52}}{frac{1}{4}} \\ & = frac{3}{13} end{aligned}[\/latex]<\/p>\n
Du bist an der Reihe<\/p>\n
Wir verwenden einen Stapel mit 52 Karten.<\/p>\n
- \n
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, keine 8 zu ziehen?<\/li>\n
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ass oder ein Pik zu ziehen?<\/li>\n
- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen K\u00f6nig zu ziehen, wenn die gezogene Karte kein Kreuz ist?<\/li>\n<\/ul>\n
Vokabeln und erste Eigenschaften<\/h3>\n
Wahrscheinlichkeitsraum<\/h4>\n
Wir befinden uns in einem Wahrscheinlichkeitsraum[latex](Omega, mathcal{A}, mathbb{P})[\/latex] in dem :<\/p>\n
[latex]Omega[\/latex] das Univers ist
\n[latex]mathcal{A}[\/latex] die Menge aller Ereignisse auf [latex]Omega[\/latex] ist.
\n[latex]mathbb{P}[\/latex] ist ein Wahrscheinlichkeitsma\u00df auf [latex](Omega,mathcal{A})[\/latex]<\/p>\nEinige Eigenschaften<\/h4>\n
Gegeben sind [latex]A[\/latex] und [latex]B[\/latex] und zwei Vorf\u00e4lle:<\/p>\n
- \n
- [latex]mathbb{P}(emptyset)=0[\/latex] et [latex]mathbb{P}(Omega)=1[\/latex]<\/li>\n
- [latex]mathbb{P}(A^C)= 1 – mathbb{P}(A)[\/latex]<\/li>\n
- [latex]mathbb{P}(A cup B)=mathbb{P}(A) + mathbb{P}(B) -mathbb{P}(A cap B)[\/latex]<\/li>\n<\/ul>\n
Um diese letzte Gleichheit zu verstehen :<\/p>\n
\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t ![\"\"](\"https:\/\/liora.io\/app\/uploads\/sites\/8\/2023\/07\/Fichier-99.png\")
<\/figcaption><\/figure>\n Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Mengen wird ein Teil entfernt, den man doppelt z\u00e4hlen k\u00f6nnte: der Schnittpunkt [latex]A[\/latex], denn [latex]A[\/latex] ist in [latex]A[\/latex] enthalten und ist auch in [latex]B[\/latex] enthalten.<\/p>\n
Umfassendes Ereignissystem<\/h4>\n
Ein vollst\u00e4ndiges System von Ereignissen [latex]left(E_iright)_{i in I}[\/latex] ist eine Menge von Teilen von[latex]Omega[\/latex], mit der [latex]I[\/latex] endlich oder abz\u00e4hlbar ist und erf\u00fcllt:<\/p>\n
[latex]bigcuplimits_{i in I} E_i = Omega[\/latex]
\n[latex]forall left(i,jright) in I^2, quad i ne j Rightarrow E_i cap E_j = emptyset[\/latex]<\/p>\nFormel f\u00fcr die Gesamtwahrscheinlichkeit<\/h4>\n
Wir betrachten ein vollst\u00e4ndiges System von Ereignissen [latex]left(E_iright)_{i in I}[\/latex].<\/p>\n
Wir haben als Ereignis [latex]A[\/latex], folgendes : [latex]begin{aligned} mathbb{P}left(Aright) &= sum limits_{i in I}{} mathbb{P}left(A cap E_iright) \\ &= sum limits_{i in I}{} mathbb{P}left(A vert E_iright)mathbb{P}left(E_iright) \\ end{aligned}[\/latex]<\/p>\n
Bedingungen<\/h4>\n
Wir betrachten einen Wahrscheinlichkeitsraum[latex]left(Omega, mathcal{A}, mathbb{P}right)[\/latex].<\/p>\n
Bedingte Wahrscheinlichkeit<\/h4>\n
Gegeben sei [latex]A in mathcal{A}[\/latex] ein Ereignis, so dass[latex]mathbb{P}left(Aright) ne 0[\/latex]<\/p>\n
Man nennt die bedingte Wahrscheinlichkeit [latex]A[\/latex]<\/b> und notiert [latex]mathbb{P}left(cdotvert A right)[\/latex] die Anwendung definiert auf[latex]mathcal{A}[\/latex]<\/p>\n
[latex]forall B in mathcal{A} quad mathbb{P}left(B vert Aright) = frac{mathbb{P}left(B cap Aright)}{mathbb{P}left(Aright)}[\/latex]<\/p>\n
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\n<\/a><\/p>\nBayes’sches Theorem<\/h3>\n
Wir betrachten zwei Ereignisse [latex]A[\/latex] und [latex]B[\/latex] mit [latex]mathbb{P}left(Bright) ne 0[\/latex].<\/p>\n
Dann gilt [latex]mathbb{P}left(A vert Bright) = frac{mathbb{P}left(B vert Aright) mathbb{P}left(Aright)}{mathbb{P}left(Bright)}[\/latex].<\/p>\n
Beispiel<\/h4>\n
In einer Population sind [latex]3[\/latex] von [latex]100[\/latex] Personen von einer Krankheit betroffen.<\/p>\n
Bei der Untersuchung auf diese Krankheit ist es m\u00f6glich, dass der Test ein falsches Ergebnis liefert:<\/p>\n
Wenn eine Person krank ist, besteht ein [latex]2%[\/latex]-Risiko, dass der Test negativ ausf\u00e4llt. Wenn eine Person nicht krank ist, besteht ein [latex]0,5%[\/latex]-Risiko, dass der Test positiv ausf\u00e4llt.<\/p>\n
Frage<\/p>\n
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, deren Test positiv ausf\u00e4llt, tats\u00e4chlich krank ist?<\/p>\n
Antwort<\/p>\n
Bezeichnen wir die Ereignisse:<\/p>\n
[latex]M[\/latex]: Die Person ist krank.
\n[latex]T[\/latex]: Das Testergebnis ist positiv.<\/p>\nDann kennen wir die folgenden Wahrscheinlichkeiten:<\/p>\n
P(M)=3100P(M)=1003\u200b (das ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist)<\/p>\n
P(TC\u2223M)=2100P(TC\u2223M)=1002\u200b (das ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test einer kranken Person negativ ist)<\/p>\n
P(T\u2223MC)=51000P(T\u2223MC)=10005\u200b (das ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test einer gesunden Person positiv ist)<\/p>\n
Dann kennen wir die folgenden Wahrscheinlichkeiten:<\/p>\n
[latex]mathbb{P}left(Mright) = frac{3}{100}[\/latex] (ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist)
\n[latex]mathbb{P}left(T^C | Mright) = frac{2}{100}[\/latex] (ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test einer kranken Person negativ ausf\u00e4llt)
\n[latex]mathbb{P}left(T | M^Cright) = frac{5}{1000}[\/latex] (ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test einer gesunden Person positiv ausf\u00e4llt)<\/p>\nDas Problem ist, dass wir [latex]mathbbb{P}left(Tright)[\/latex] nicht kennen. Um diesen Wert zu berechnen, kann man die Formel f\u00fcr die Gesamtwahrscheinlichkeit verwenden. Dann bilden die Ereignisse [latex]T cap M[\/latex] und [latex]T cap M^C[\/latex] ein vollst\u00e4ndiges System von Ereignissen in [latex]T[\/latex]. Die Formel f\u00fcr die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt :<\/strong><\/p>\n
[latex]begin{aligned}mathbb{P}left(Tright) &= mathbb{P}left(Tcap Mright) + mathbb{P}left(Tcap M^Cright) \\ &= mathbb{P}left(T|Mright)mathbb{P}left(Mright) + mathbb{P}left(T|M^Cright)mathbb{P}left(M^Cright) \\ &= left(1 – mathbb{P}left(T^C|Mright)right)mathbb{P}left(Mright) + mathbb{P}left(T|M^Cright)left(1 – mathbb{P}left(Mright)right)end{aligned}[\/latex]<\/p>\n
Jetzt k\u00f6nnen wir berechnen: [latex]mathbb{P}left(M | Tright)[\/latex], da alle beteiligten Werte bekannt sind. [latex]begin{aligned} mathbb{P}left(M | Tright) &= frac{left(1 – mathbb{P}left(T^C|Mright)right)mathbb{P}left(Mright)}{left(1 – mathbb{P}left(T^C|Mright)right)mathbb{P}left(Mright) + mathbb{P}left(T|M^Cright)left(1 – mathbb{P}left(Mright)right)} \\ \\ &= frac{left(1 – frac{2}{100}right)frac{3}{100}}{left(1 – frac{2}{100}right)frac{3}{100} + frac{5}{1000}left(1 – frac{3}{100}right)} \\ \\ &= frac{588}{685} \\ mathbb{P}left(M | Tright) & approx 85,84 % end{aligned}[\/latex]<\/p>\n
Fazit<\/h3>\n
Das Ziel dieses Artikels war es, alle notwendigen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung<\/strong> zu vermitteln, um Teil 2 (der nicht allzu lange auf sich warten lassen sollte ?) gut zu verstehen. Wahrscheinlichkeiten werden in mehreren Disziplinen sowie in vielen Machine-Learning- und Business-Intelligence-Tools<\/a> umfassend genutzt. Die oben vorgestellten Konzepte sind Grundlagen, um die Funktionsweise dieser Werkzeuge mit einem besseren Verst\u00e4ndnis einiger Algorithmen<\/a> zu verstehen.<\/p>\n
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