{"id":178997,"date":"2023-06-27T10:24:43","date_gmt":"2023-06-27T09:24:43","guid":{"rendered":"https:\/\/liora.io\/de\/?p=178997"},"modified":"2026-02-06T06:38:14","modified_gmt":"2026-02-06T05:38:14","slug":"folgen-und-reihen-mathe-das-prinzip-verstehen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/liora.io\/de\/folgen-und-reihen-mathe-das-prinzip-verstehen","title":{"rendered":"Folgen und Reihen Mathe: Das Prinzip verstehen"},"content":{"rendered":"

In diesem Artikel werden wir zwei Schl\u00fcsselbegriffe der Mathematik kennen lernen: Folgen und Reihen. Um sie vollst\u00e4ndig zu verstehen, sind einige Grundkenntnisse der Mathematik erforderlich.<\/strong><\/p>\nFolgen und Reihen sind in der Mathematik<\/strong> weit verbreitet und k\u00f6nnen verwendet werden, um Folgen von mathematischen Objekten wie Polynomen, Zahlen, Mengen, Funktionen usw. zu definieren. Hier werden wir uns nur mit numerischen Folgen besch\u00e4ftigen, die Folgen von reellen Zahlen sind, und die Verbindung zwischen diesen und numerischen Reihen aufzeigen.\n\nEine Folge besteht aus mehreren Termen und jeder Term hat einen Rang. Zum Beispiel besteht die Folge 1, 2, 3, 4, 5 aus 5 Termen (1, 2, 3, 4, 5) und ihr jeweiliger Rang ist 0, 1, 2, 3, 4, wenn man 0 als den ersten Rang der Folge ansieht. Folgen werden auch im Bereich der Data Science<\/strong> verwendet, insbesondere wenn man mit Zeitreihen arbeitet.\n\nAuch interessant:\n\n\n<\/colgroup>\n\n\n\n\n
Mathe Funktionen<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
Die Brownsche Bewegung<\/a><\/td>\n<\/tr>\n
Python Zeitreihe<\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Folgen und Reihen Mathematik: Wie definiert man eine reelle Folge?<\/h3>\nEine reelle Folge<\/strong> kann als eine Anwendung [latex]n longrightarrow u_n[\/latex] von der Menge der ganzen Zahlen auf die Menge der reellen Zahlen definiert werden und wird oft als [latex](u_n)_{n in mathbb{N}}[\/latex] bezeichnet. Man kann eine Folge sogar mit einer Funktion vergleichen, die nur ganzzahlige Werte als Argument verwendet.\n\nZum Beispiel ist [latex]f(n) = n[\/latex], mit einer ganzen Zahl, eine reelle Folge.\n\nEs gibt verschiedene Arten von Folgen:\n\nSogenannte explizite Folgen,<\/strong> die wie im obigen Beispiel durch eine Formel definiert sind, z. B. [latex]u_n = cos(n)[\/latex] oder [latex]u_n = frac{n-1}{n^2+3}[\/latex].\nso genannte rekursive Folgen, bei denen ein Term von einem oder mehreren vorhergehenden Termen abh\u00e4ngt, z. B.: [latex]u_{n+1} = sin(u_n)[\/latex] oder [latex]u_{n+2} = 2u_{n+1} – u_n[\/latex].\n

Welche Eigenschaften hat eine Folge?<\/h3>\nEine Folge ist konstant, wenn alle ihre Terme gleich sind: f\u00fcr jedes n \u2208 N, un = u0.\n\nEine Folge ist station\u00e4r, wenn ab einem bestimmten Rang [latex]n_0[\/latex] alle ihre Terme gleich sind: [latex]exists n_0 in mathbb{N}, (n geq n_0 Rightarrow u_n=u_{n0})[\/latex].\n\nEine Folge ist periodisch, wenn es eine positive ganze Zahl N gibt, so dass [latex]forall n in mathbb{N}, u_{n+N} = u_n[\/latex].\n\nEine Folge ist dann und nur dann steigend (bzw. fallend), wenn [latex]n in mathbb{N}, u_n leq u_{n+1}[\/latex] (bzw. [latex]u_{n+1} leq u_n[\/latex]).\n

Suiten verstehen<\/h3>\nEine numerische Folge<\/strong> kann als Teilsumme der Terme einer numerischen Folge definiert werden. Wenn wir die Folge [latex](u_n)_{n in mathbb{N}}[\/latex] betrachten, k\u00f6nnen wir ihr die Reihe [latex]S(u)_n[\/latex] zuordnen, die als [latex]S(u)_n = u_0+u_1+…+ u_n = sum_{k=0}^{n}u_k[\/latex] definiert ist.\n\nDer Term n der mit der Folge verbundenen Reihe kann also als die Summe der ersten n+1 Terme der Folge gesehen werden.\n\nWenn wir zum Beispiel die Folge [latex](u_n) = n[\/latex] nehmen, ist die mit dieser Folge verbundene Reihe [latex]S(u)_N = sum_{k=0}^{N}k = frac{N(N+1)}{2}[\/latex].\n

Eigenschaften von Serien<\/h4>\nEs ist oft interessant zu sehen, ob eine Zahlenreihe konvergiert oder divergiert. Man sagt, dass eine Reihe mit dem allgemeinen Term [latex](u_n)[\/latex] konvergiert (bzw. divergiert), wenn die Folge [latex](S_N)[\/latex] der Partialsummen konvergiert (bzw. divergiert). Wenn die Reihe konvergiert, ist der Grenzwert [latex]limits_{N rightarrow + infty} S_N = limits_{N rightarrow + infty} sum_{n = 0}^{N} u_n[\/latex] wird mit [latex]sum_{n = 0}^{{infty} u_n[\/latex] bezeichnet und wird als Summe der Reihe bezeichnet.<\/strong>\n\nBeispiel f\u00fcr eine divergierende Reihe:<\/strong> Die Reihe, die mit der Folge [latex](u_n) = n[\/latex], [latex]S(u)_N = frac{N(N+1)}{2}[\/latex] verbunden ist, divergiert.\n\nBeispiel f\u00fcr eine konvergierende Reihe<\/a>: Die Reihe, die mit einer geometrischen Folge mit der Vernunft q verbunden ist, [latex]S(u)_N = frac{1 – q^{N+1}}{1 – q}[\/latex] konvergiert, wenn und nur wenn [latex]|q| < 1[\/latex].\n

Welche Verbindungen bestehen zwischen Fortsetzungen und Serien?<\/h3>\nMathe Folgen und Reihen: Wir bilden st\u00e4ndig eine Reihe aus einer Folge<\/strong> und erinnern uns daran, dass eine Reihe die Teilsumme der ersten Terme der Folge ist. Man kann also leicht sagen, dass das Verhalten der Reihe [latex]S(u_N)[\/latex] eng mit dem der Reihe [latex](u_n)[\/latex] verbunden ist.\n\nUmgekehrt kann man, um eine Folge zu untersuchen, leicht auf eine Reihe zur\u00fcckgreifen. Wenn man zum Beispiel die Monotonie einer Folge [latex](u_n)[\/latex] untersuchen will (auf Wachstum oder Abnahme pr\u00fcfen), kann man eine Nebenfolge [latex](v_n)[\/latex] betrachten, die definiert ist durch : [latex]v_0 = 0[\/latex] und [latex]v_n = u_n – u_{n-1}[\/latex]. Dann erh\u00e4lt man [latex]u_n = sum_{k=0}^{n} v_k[\/latex]. [latex](u_n)[\/latex] ist also die Partialsumme der Ordnung [latex]n[\/latex] der Reihe mit dem Term [latex](v_n)[\/latex].\n

Fazit<\/h3>\nDu wei\u00dft jetzt, was Zahlenfolgen und Zahlenreihen sind und wie diese beiden mathematischen Begriffe zusammenh\u00e4ngen. Du kennst auch einige Eigenschaften dieser verschiedenen mathematischen Objekte. Man kann diese Begriffe nat\u00fcrlich auch auf andere Arten von Objekten wie Polynome, Funktionen, Mengen usw. ausdehnen.\n\nWenn du dich f\u00fcr Reihen und Folgen interessierst und mehr \u00fcber Zeitreihen erfahren m\u00f6chtest, kannst du an einem unserer Kurse in Data Science teilnehmen.<\/strong>\n\n\n
Entdecke unsere Weiterbildungen<\/a><\/div><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

In diesem Artikel werden wir zwei Schl\u00fcsselbegriffe der Mathematik kennen lernen: Folgen und Reihen. Um sie vollst\u00e4ndig zu verstehen, sind einige Grundkenntnisse der Mathematik erforderlich. Folgen und Reihen sind in der Mathematik weit verbreitet und k\u00f6nnen verwendet werden, um Folgen von mathematischen Objekten wie Polynomen, Zahlen, Mengen, Funktionen usw. zu definieren. Hier werden wir uns […]<\/p>\n","protected":false},"author":76,"featured_media":178998,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"elementor_theme","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"editor_notices":[],"footnotes":""},"categories":[2472],"class_list":["post-178997","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-data-ki"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/178997","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/76"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=178997"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/178997\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":217428,"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/178997\/revisions\/217428"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media\/178998"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=178997"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=178997"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}