{"id":169687,"date":"2026-02-19T15:23:31","date_gmt":"2026-02-19T14:23:31","guid":{"rendered":"https:\/\/liora.io\/de\/?p=169687"},"modified":"2026-08-07T13:42:58","modified_gmt":"2026-08-07T11:42:58","slug":"mathenachhilfe-was-ist-eine-ableitung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/liora.io\/de\/mathenachhilfe-was-ist-eine-ableitung","title":{"rendered":"Ableitung : Was war das nochmal gleich ?"},"content":{"rendered":"\n

Der Begriff der Ableitung wird insbesondere in der DataScience sehr h\u00e4ufig verwendet, um Modelle f\u00fcr das maschinelle Lernen zu erlernen. Abgesehen von dem, was Du wahrscheinlich in der Schule gesehen hast, sind die Anwendungen dieses mathematischen Werkzeugs viel breiter gef\u00e4chert, und wir werden am Ende dieses Artikels darauf zur\u00fcckkommen.\nIn diesem Artikel erf\u00e4hrst Du zun\u00e4chst, wie Du die Ableitung einer Funktion berechnen kannst, und anschlie\u00dfend gehen wir etwas n\u00e4her auf den Nutzen dieser Berechnung ein.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Entdecke unsere Data Science Ausbildungen<\/a><\/div><\/div>\n\n\n\n

Definition<\/h2>\n\n\n\n
Der Begriff der Ableitung ist n. Die Ableitung einer Funktion f(x) stellt die \u00c4nderungsrate dieser Funktion dar. Sie kann auch als f'(x) oder dfdx bezeichnet werden. Die Berechnung und Untersuchung der Ableitung ist ein wichtiger Bestandteil des Studiums von Funktionen und wird vor allem in der DataScience f\u00fcr das Lernen von Machine-Learning-Modellen verwendet. Abgesehen von dem, was Du wahrscheinlich in der Schule gesehen hast, sind die Anwendungen dieses mathematischen Werkzeugs viel breiter gef\u00e4chert, und wir werden am Ende dieses Artikels darauf zur\u00fcckkommen.\nIn diesem Artikel erf\u00e4hrst Du zun\u00e4chst, wie Du die Ableitung einer Funktion berechnen kannst, und anschlie\u00dfend gehen wir etwas n\u00e4her auf den Nutzen dieser Berechnung ein.<\/blockquote>\n\n\n\n

Formeln<\/h2>\n\n\n\n

Die Berechnung einer Ableitung ist im Allgemeinen recht einfach, wenn man die grundlegenden Formeln der \u00fcblichen Funktionen kennt.<\/p>\n\n\n\n

Diese Formeln sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:<\/p>\n\n\n\n

\"Illustration<\/figure>\n\n\n\n

Mit dieser Tabelle kannst du dir die grundlegendsten Ableitungen anzeigen lassen.<\/p>\n\n\n\n

Ableitung : Summe der Funktionen<\/h5>\n\n\n\n

Wenn deine Funktion die Summe von mehreren anderen Funktionen ist :<\/p>\n\n\n\n

f(x)=u(x)+v(x)<\/p>\n\n\n\n

dann ist ihre Ableitung die Summe der Ableitungen:<\/p>\n\n\n\n

f'(x)=u'(x)+v'(x).<\/p>\n\n\n\n

Zum Beispiel:<\/p>\n\n\n\n

f(x)=x2+3<\/p>\n\n\n\n

In diesem Fall ist u(x)=x2 und v(x)=3.<\/p>\n\n\n\n

Wir k\u00f6nnen also berechnen<\/p>\n\n\n\n

u'(x)=(x2)’=2×2-1=2x<\/p>\n\n\n\n

v'(x)=(3)‘ = 0<\/p>\n\n\n\n

f'(x)=u'(x)+v'(x) = 2x + 0 = 2x.<\/p>\n\n\n\n

Ableitung : Produkte von Funktionen<\/h5>\n\n\n\n

F\u00fcr die Multiplikation von Funktionen:<\/p>\n\n\n\n

f(x)=u(x)*v(x)<\/p>\n\n\n\n

Die totale Ableitung ist etwas spezieller und entspricht der folgenden Regel:<\/p>\n\n\n\n

f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)<\/p>\n\n\n\n

Data Scientist Weiterbildung entdecken<\/a><\/div><\/div>\n\n\n\n

f(x)=x2sin(x)<\/p>\n\n\n\n

In diesem Fall ist u(x)=x2 und v(x)=sin(x).<\/p>\n\n\n\n

Wir k\u00f6nnen also berechnen<\/p>\n\n\n\n

u'(x)=(x2)’=2×2-1=2x<\/p>\n\n\n\n

v'(x)=(sin(x))‘ = cos(x)<\/p>\n\n\n\n

f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x) = 2x*sin(x) + x2*cos(x)<\/p>\n\n\n\n

Quotienten von Funktionen<\/h3>\n\n\n\n

Wenn eine Funktion die Division von zwei anderen Funktionen ist: f(x)=u(x)v(x), dann wird die Ableitung wie folgt aussehen<\/p>\n\n\n\n

Beispiel:<\/p>\n\n\n\n

In diesem Fall ist u(x)=(3x+6) und v(x)=(x3-7).<\/p>\n\n\n\n

Wir k\u00f6nnen also berechnen:<\/p>\n\n\n\n

u'(x)=(3x+6)’=3<\/p>\n\n\n\n

v'(x)=(x3-7)‘ =3×2<\/p>\n\n\n\n

Zusammengesetzte Funktionen<\/h3>\n\n\n\n

Wenn Deine Funktion als zwei zusammengefasste Funktionen oder, anders ausgedr\u00fcckt, als Funktion einer Funktion wahrgenommen wird :<\/p>\n\n\n\n

h(x)=f(g(x))=f \u25e6 g.\u00a0<\/p>\n\n\n\n

dann wird seine Ableitung<\/strong> von auf diese Weise berechnet:<\/p>\n\n\n\n

h'(x)=(f \u25e6 g) ‚ = g‘ .(f ‚ \u25e6 g).\u00a0<\/p>\n\n\n\n

Beispiel:<\/p>\n\n\n\n

Wir k\u00f6nnen also Folgendes annehmen:<\/p>\n\n\n\n

g(x)=x2+2x-4 und g'(x)=2x+2<\/p>\n\n\n\n

f(x)=x und f'(x)=121×1\/2=12x<\/p>\n\n\n\n

Und<\/p>\n\n\n\n

Also<\/p>\n\n\n\n

Anwendungen<\/h3>\n\n\n\n

Mais \u00e0 quoi sert vraiment le calcul de la d\u00e9riv\u00e9e ?<\/p>\n\n\n\n

Pour faire simple, le signe de la d\u00e9riv\u00e9e permet d\u2019indiquer les variations<\/strong> de la fonction f. C\u2019est ce qui repr\u00e9sente la tangente \u00e0 la fonction<\/p>\n\n\n\n

Aber wozu dient die Berechnung der Ableitung wirklich?<\/p>\n\n\n\n

Vereinfacht gesagt, kann man anhand des Vorzeichens der Ableitung die Variationen der Funktion f<\/strong> erkennen.<\/p>\n\n\n\n

Es stellt die Tangente an die Funktion dar. Und die Ableitung selbst stellt den Leitkoeffizienten der Tangente an f im Punkt dar.<\/p>\n\n\n\n

\"Illustration<\/figure>\n\n\n\n

Zur Erinnerung:<\/strong> Die Tangente einer Funktion<\/strong> in einem Punkt ist die Gerade, die die Funktion in diesem Punkt und nur in diesem Punkt ber\u00fchrt.<\/p>\n\n\n\n

Data Scientist Weiterbildung entdecken<\/a><\/div><\/div>\n\n\n\n

Wenn f ‚ \u2265 0, dann ist f steigend.<\/p>\n\n\n\n

Wenn f ‚ \u2264 0, dann ist f abnehmend.<\/p>\n\n\n\n

Und wenn f’=0, haben wir den Punkt x, an dem der Leitkoeffizient der Tangente annulliert wird und die Funktion f m\u00f6glicherweise ihre Variation \u00e4ndert.<\/p>\n\n\n\n

Zum Beispiel:<\/p>\n\n\n\n

f(x)=x2-4x+2<\/p>\n\n\n\n

f'(x)=2x-4<\/p>\n\n\n\n

f'(x)=0 \u21d4 2x=4 \u21d4 x=2\u00a0<\/p>\n\n\n\n

Dies deutet also darauf hin, dass f\u00fcrx=2 meine Funktion vielleicht ihre Variation \u00e4ndert. Wie du unten sehen kannst, stellt x=2 einen Wendepunkt dar:<\/p>\n\n\n\n

Wenn du also x durch x<2 ersetzt, z. B. x=1,<\/p>\n\n\n\n

Wir haben:<\/p>\n\n\n\n

f'(1)=2 \u00d7 1-4=\u23af2<0<\/p>\n\n\n\n

Die Ableitung ist kleiner als 0, also nimmt die Funktion f ab.<\/p>\n\n\n\n

Wenn wir x durch x>2 ersetzen, z. B. x=3,<\/p>\n\n\n\n

Wir haben:<\/p>\n\n\n\n

f'(3)=2*3-4=2>0<\/p>\n\n\n\n

Die Ableitung ist gr\u00f6\u00dfer als 0, also w\u00e4chst die Funktion f.<\/p>\n\n\n\n

Wir haben also die folgende Variationstabelle:<\/p>\n\n\n\n

\"Illustration<\/figure>\n\n\n\n

Aber was ist nun die Verbindung zum maschinellen Lernen?<\/p>\n\n\n\n

In Machine-Learning-Problemen versuchen wir, das Minimum der Kostenfunktion zu finden, um den Fehler in der Vorhersage zu minimieren und so die Leistung des Modells zu maximieren.\nUm dies zu erreichen, suchen wir das Minimum der Funktion mithilfe der Ableitung.<\/p>\n\n\n\n

Die Berechnung der Ableitung und ihre Gleichsetzung mit 0, um die entsprechenden x zu finden, f\u00fchrt jedoch nicht mit Sicherheit zu analytischen L\u00f6sungen.<\/p>\n\n\n\n

Aus diesem Grund verwenden wir die Methode des Gradientenabstiegs.<\/a><\/p>\n\n\n\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Der Begriff der Ableitung wird insbesondere in der DataScience sehr h\u00e4ufig verwendet, um Modelle f\u00fcr das maschinelle Lernen zu erlernen. Abgesehen von dem, was Du wahrscheinlich in der Schule gesehen hast, sind die Anwendungen dieses mathematischen Werkzeugs viel breiter gef\u00e4chert, und wir werden am Ende dieses Artikels darauf zur\u00fcckkommen. In diesem Artikel erf\u00e4hrst Du zun\u00e4chst, […]<\/p>\n","protected":false},"author":47,"featured_media":218748,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"elementor_theme","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"editor_notices":[],"footnotes":""},"categories":[2472],"class_list":["post-169687","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-data-ki"],"acf":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/169687","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/users\/47"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=169687"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/169687\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":224833,"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/169687\/revisions\/224833"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media\/218748"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=169687"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/liora.io\/de\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=169687"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}