{"id":169687,"date":"2026-02-19T15:23:31","date_gmt":"2026-02-19T14:23:31","guid":{"rendered":"https:\/\/liora.io\/de\/?p=169687"},"modified":"2026-02-19T15:23:32","modified_gmt":"2026-02-19T14:23:32","slug":"mathenachhilfe-was-ist-eine-ableitung","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/liora.io\/de\/mathenachhilfe-was-ist-eine-ableitung","title":{"rendered":"Ableitung – Was war das nochmal gleich ?"},"content":{"rendered":"

Der Begriff der Ableitung wird insbesondere in der DataScience sehr h\u00e4ufig verwendet, um Modelle f\u00fcr das maschinelle Lernen zu erlernen. Abgesehen von dem, was Du wahrscheinlich in der Schule gesehen hast, sind die Anwendungen dieses mathematischen Werkzeugs viel breiter gef\u00e4chert, und wir werden am Ende dieses Artikels darauf zur\u00fcckkommen.\nIn diesem Artikel erf\u00e4hrst Du zun\u00e4chst, wie Du die Ableitung einer Funktion berechnen kannst, und anschlie\u00dfend gehen wir etwas n\u00e4her auf den Nutzen dieser Berechnung ein.<\/strong><\/p>\n

Definition<\/h2>\n
Der Begriff der Ableitung ist n. Die Ableitung einer Funktion f(x) stellt die \u00c4nderungsrate dieser Funktion dar. Sie kann auch als f'(x) oder dfdx bezeichnet werden. Die Berechnung und Untersuchung der Ableitung ist ein wichtiger Bestandteil des Studiums von Funktionen und wird vor allem in der DataScience f\u00fcr das Lernen von Machine-Learning-Modellen verwendet. Abgesehen von dem, was Du wahrscheinlich in der Schule gesehen hast, sind die Anwendungen dieses mathematischen Werkzeugs viel breiter gef\u00e4chert, und wir werden am Ende dieses Artikels darauf zur\u00fcckkommen.\nIn diesem Artikel erf\u00e4hrst Du zun\u00e4chst, wie Du die Ableitung einer Funktion berechnen kannst, und anschlie\u00dfend gehen wir etwas n\u00e4her auf den Nutzen dieser Berechnung ein.<\/blockquote>\n

Formeln<\/h2>\nDie Berechnung einer Ableitung ist im Allgemeinen recht einfach, wenn man die grundlegenden Formeln der \u00fcblichen Funktionen kennt.\n\nDiese Formeln sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:\n\n\"\"\n\nMit dieser Tabelle kannst du dir die grundlegendsten Ableitungen anzeigen lassen.\n

Ableitung – Summe der Funktionen<\/h5>\nWenn deine Funktion die Summe von mehreren anderen Funktionen ist :\n\nf(x)=u(x)+v(x) \n\ndann ist ihre Ableitung die Summe der Ableitungen:\n\nf'(x)=u'(x)+v'(x). \n\nZum Beispiel:\n\nf(x)=x2+3 \n\nIn diesem Fall ist u(x)=x2 und v(x)=3. \n\nWir k\u00f6nnen also berechnen\n\nu'(x)=(x2)’=2×2-1=2x \n\nv'(x)=(3)‘ = 0 \n\nf'(x)=u'(x)+v'(x) = 2x + 0 = 2x.\n
Ableitung – Produkte von Funktionen<\/h5>\nF\u00fcr die Multiplikation von Funktionen:\n\nf(x)=u(x)*v(x) \n\nDie totale Ableitung ist etwas spezieller und entspricht der folgenden Regel:\n\nf'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x) \n\nf(x)=x2sin(x) \n\nIn diesem Fall ist u(x)=x2 und v(x)=sin(x). \n\nWir k\u00f6nnen also berechnen\n\nu'(x)=(x2)’=2×2-1=2x \n\nv'(x)=(sin(x))‘ = cos(x) \n\nf'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x) = 2x*sin(x) + x2*cos(x)\n

Quotienten von Funktionen<\/h3>\nWenn eine Funktion die Division von zwei anderen Funktionen ist: f(x)=u(x)v(x), dann wird die Ableitung wie folgt aussehen\n\n\n\nBeispiel:\n\n\n\nIn diesem Fall ist u(x)=(3x+6) und v(x)=(x3-7).\n\nWir k\u00f6nnen also berechnen:\n

u'(x)=(3x+6)’=3<\/p>\n

v'(x)=(x3-7)‘ =3×2<\/p>\n\n\n\n

Zusammengesetzte Funktionen<\/h3>\nWenn Deine Funktion als zwei zusammengefasste Funktionen oder, anders ausgedr\u00fcckt, als Funktion einer Funktion wahrgenommen wird :\n

h(x)=f(g(x))=f \u25e6 g. <\/p>\ndann wird seine Ableitung<\/strong> von auf diese Weise berechnet:\n

h'(x)=(f \u25e6 g) ‚ = g‘ .(f ‚ \u25e6 g). <\/p>\nBeispiel:\n\n\"\"\n\nWir k\u00f6nnen also Folgendes annehmen:\n

g(x)=x2+2x-4 und g'(x)=2x+2<\/p>\n

f(x)=x und f'(x)=121×1\/2=12x<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\"\"\n\nUnd\n\n\"\"\n\nAlso\n\n\"\"\n

Anwendungen<\/h3>\nMais \u00e0 quoi sert vraiment le calcul de la d\u00e9riv\u00e9e ?\n\nPour faire simple, le signe de la d\u00e9riv\u00e9e permet d\u2019indiquer les variations<\/b> de la fonction f. C\u2019est ce qui repr\u00e9sente la tangente \u00e0 la fonction\n\nAber wozu dient die Berechnung der Ableitung wirklich?\n\nVereinfacht gesagt, kann man anhand des Vorzeichens der Ableitung die Variationen der Funktion f<\/strong> erkennen.\n\nEs stellt die Tangente an die Funktion dar. Und die Ableitung selbst stellt den Leitkoeffizienten der Tangente an f im Punkt dar.\n\n\"\"\n\nZur Erinnerung:<\/strong> Die Tangente einer Funktion<\/strong> in einem Punkt ist die Gerade, die die Funktion in diesem Punkt und nur in diesem Punkt ber\u00fchrt.\n

Wenn f ‚ \u2265 0, dann ist f steigend.<\/p>\n

Wenn f ‚ \u2264 0, dann ist f abnehmend.<\/p>\nUnd wenn f’=0, haben wir den Punkt x, an dem der Leitkoeffizient der Tangente annulliert wird und die Funktion f m\u00f6glicherweise ihre Variation \u00e4ndert.\n\nZum Beispiel: \n

f(x)=x2-4x+2<\/p>\n

f'(x)=2x-4<\/p>\n

f'(x)=0 \u21d4 2x=4 \u21d4 x=2 <\/p>\nDies deutet also darauf hin, dass f\u00fcrx=2 meine Funktion vielleicht ihre Variation \u00e4ndert. Wie du unten sehen kannst, stellt x=2 einen Wendepunkt dar:\n\n\n\nWenn du also x durch x<2 ersetzt, z. B. x=1, \n\nWir haben:\n

f'(1)=2 \u00d7 1-4=\u23af2<0<\/p>\nDie Ableitung ist kleiner als 0, also nimmt die Funktion f ab.\n\nWenn wir x durch x>2 ersetzen, z. B. x=3, \n\nWir haben:\n

f'(3)=2*3-4=2>0<\/p>\nDie Ableitung ist gr\u00f6\u00dfer als 0, also w\u00e4chst die Funktion f.\n\nWir haben also die folgende Variationstabelle:\n\n\"\"\n\nAber was ist nun die Verbindung zum maschinellen Lernen?\n\nIn Machine-Learning-Problemen versuchen wir, das Minimum der Kostenfunktion zu finden, um den Fehler in der Vorhersage zu minimieren und so die Leistung des Modells zu maximieren.\nUm dies zu erreichen, suchen wir das Minimum der Funktion mithilfe der Ableitung.\n\nDie Berechnung der Ableitung und ihre Gleichsetzung mit 0, um die entsprechenden x zu finden, f\u00fchrt jedoch nicht mit Sicherheit zu analytischen L\u00f6sungen.\n\nAus diesem Grund verwenden wir die Methode des Gradientenabstiegs.<\/a>\n\n\n

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