{"id":165524,"date":"2026-02-18T10:41:55","date_gmt":"2026-02-18T09:41:55","guid":{"rendered":"https:\/\/liora.io\/de\/?p=165524"},"modified":"2026-02-23T17:23:51","modified_gmt":"2026-02-23T16:23:51","slug":"arima","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/liora.io\/de\/arima","title":{"rendered":"ARIMA: Modell zur Vorhersage von Zeitreihen"},"content":{"rendered":"\n

Wenn du dich schon einmal mit Zeitreihen besch\u00e4ftigt hast, hast du wahrscheinlich schon von ARIMA oder ARMA geh\u00f6rt. Sie sind die wichtigsten Prozesse, die zur Modellierung von Zeitreihen verwendet werden, und stellen daher eine wichtige Grundlage f\u00fcr den Einstieg in das Thema dar.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Wenn du noch nicht wei\u00dft, was eine Zeitreihe ist, empfehle ich dir dringend, dass du dir unseren Artikel \u00fcber Zeitreihen.<\/a> den wir zu diesem Thema ver\u00f6ffentlicht haben, da die dort erl\u00e4uterten Begriffe in diesem Artikel wiederverwendet werden.<\/p>\n\n\n\n

Der ARIMA-Prozess ist eine Kombination aus verschiedenen einfacheren Prozessen, die wir in diesem Artikel erkl\u00e4ren werden.<\/p>\n\n\n\n

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Der AR-Prozess :<\/h2>\n\n\n\n

Der AR-Prozess bedeutet selbstregulierend<\/b>.<\/p>\n\n\n\n

Konkret: Betrachtet man einen station\u00e4ren Prozess Xt, so gilt er als autoregressiv der Ordnung p, wenn man seinen Wert zum Zeitpunkt T mithilfe seiner p vorherigen Terme erkl\u00e4ren kann.<\/b><\/p>\n\n\n\n

Mathematisch bedeutet dies, dass :<\/p>\n\n\n\n

Xt\u200b=\u03b11\u200bXt\u22121\u200b+\u03b12\u200bXt\u22122\u200b+\u22ef+\u03b1p\u200bXt\u2212p\u200b+\u03b5t\u200b<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n

wobei \u03b5 der Fehler und (\ud835\udefc1, \u2026,\ud835\udefcp)<\/em><\/strong> <\/b>reelle Zahlen sind.<\/p>\n\n\n\n

Der MA-Prozess :<\/h2>\n\n\n\n

MA steht f\u00fcr „moving average“ oder auf Deutsch „gleitender Durchschnitt“<\/b>.<\/p>\n\n\n\n

Sei Xt eine Zeitreihe, man betrachtet sie als einen MA-Prozess der Ordnung p, wenn man ihren Wert zum Zeitpunkt t als Linearkombination von zuf\u00e4lligen Fehlern (wei\u00dfes Rauschen) ausdr\u00fccken kann.<\/p>\n\n\n\n

Mathematisch wird dies \u00fcbersetzt als :<\/p>\n\n\n\n

Xt\u200b=\u03b5t\u200b+\u03b11\u200b\u03b5t\u22121\u200b+\u03b12\u200b\u03b5t\u22122\u200b+\u22ef+\u03b1q\u200b\u03b5t\u2212q\u200b<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n

wobei \u03b5 der Fehler und (\ud835\udefc1, \u2026,\ud835\udefcp)<\/strong><\/em> reelle Zahlen sind.<\/p>\n\n\n\n

Der ARMA-Prozess :<\/h2>\n\n\n\n

Wie du vielleicht schon vermutet hast, ist das ARMA-Modell einfach eine Kombination aus einem AR-Prozess und einem MA-Prozess. Damit lassen sich komplexere Zeitreihen modellieren.<\/b><\/p>\n\n\n\n

Ein ARMA-Modell der Ordnung (p,q) wird daher in der Form :<\/p>\n\n\n\n

Xt\u200b=\u03b11\u200bXt\u22121\u200b+\u03b12\u200bXt\u22122\u200b+\u22ef+\u03b1p\u200bXt\u2212p\u200b+\u03b5t\u200b+\u03b21\u200b\u03b5t\u22121\u200b+\u03b22\u200b\u03b5t\u22122\u200b+\u22ef+\u03b2q\u200b\u03b5t\u2212q\u200b<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n

Mit (\ud835\udefc1, \u2026,\ud835\udefcp)<\/strong><\/em> und (\ud835\udefd1, \u2026,\ud835\udefdq)<\/strong><\/em> als reellen Zahlen.<\/p>\n\n\n\n

Eine der Einschr\u00e4nkungen dieses Modells ist jedoch, dass es nur station\u00e4re Zeitreihen modellieren kann. <\/b><\/p>\n\n\n\n

Daher kann es keine Zeitreihen mit einem linear ansteigenden Trend <\/b>modellieren. Um dieses Problem zu beheben, wurde das ARIMA-Modell entwickelt.<\/p>\n\n\n\n

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Beispiele f\u00fcr AR-Prozesse: Quelle Wikipedia<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
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Das ARIMA-Modell :<\/h2>\n\n\n\n

Das I im ARIMA-Modell steht f\u00fcr ‚integrated‘ (integriert). Durch die Differenzierung der Zeitreihen k\u00f6nnen die Trends, die sie aufweisen, herausgenommen und station\u00e4r gemacht werden.<\/p>\n\n\n\n

Nehmen wir als Beispiel eine Zeitreihe mit einem linearen Trend der Form :<\/p>\n\n\n\n

Xt\u200b=at+b+\u03b5t\u200b<\/em><\/strong><\/p>\n\n\n\n

Wenn du also die Reihe einmal differenzierst, wird die lineare Zeitabh\u00e4ngigkeit eliminiert und die Differenz ist station\u00e4r<\/b>.<\/p>\n\n\n\n

Auf \u00e4hnliche Weise kann ein quadratischer Trend eliminiert werden, indem die Reihe zweimal differenziert wird.<\/p>\n\n\n\n

Nachdem die Reihe station\u00e4r gemacht wurde, kann das ARMA-Modell angewendet werden.<\/p>\n\n\n\n

Das ARIMA-Modell ist daher eine Kombination aus diesem Differenzierungsprozess und dem klassischen ARMA-Prozess.<\/b><\/p>\n\n\n\n

Wenn die Zeitreihe sowohl einen Trend als auch eine Saisonalit\u00e4t aufweist, kann das SARIMA-Modell verwendet werden, das ein <\/b>ARIMA-Modell ist, das auch eine saisonale Komponente ber\u00fccksichtigt.<\/p>\n\n\n

Wie sieht das in der Praxis aus?<\/h2>\n\n\n\n

Es wird versucht, die monatliche Anzahl der Passagiere einer Fluggesellschaft vorherzusagen, deren Daten zwischen 1949 und 1960 vorliegen, Verf\u00fcgbar auf Kaggle<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Mithilfe der SARIMAX-Funktion aus der statsmodels-Bibliothek ist es m\u00f6glich, die <\/i><\/b>Zeitreihe f\u00fcr die n\u00e4chsten 15 Monate vorherzusagen. Wir entscheiden uns f\u00fcr einen AR-Prozess der Ordnung 1, einen MA-Prozess der Ordnung 1, eine Differenzierung der Ordnung 1 und eine Saisonalit\u00e4t \u00fcber 12 Monate.<\/p>\n\n\n\n

Au\u00dferdem kann das Modell ein 95%-Konfidenzintervall der Vorhersage berechnen, das hier grau dargestellt ist<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n

Fazit :<\/h2>\n\n\n\n

In j\u00fcngerer Zeit werden neuronale Netze immer h\u00e4ufiger f\u00fcr die Vorhersage von Zeitreihen verwendet, da sie einige Fehler der „klassischen“<\/strong> Methoden wie ARIMA beheben. Finde mehr \u00fcber neuronale Netze heraus, indem du an einem unserer Kurse teilnimmst.<\/p>\n\n\n\n

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